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MAGNIOTUIDES LINELAES Y ANGULARES

De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio



Derivando s=rq respecto del tiempo, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular



La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial

Aceleración tangencial
Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.



Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cambie con el tiempo.

Aceleración normal
El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangencial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.



Supongamos un móvil que describe un movimiento circular uniforme.

En el instante t la velocidad del móvil es v, cuyo módulo es v, y cuya dirección es tangente a la circunferencia.
En el instante t' la velocidad del móvil v', que tiene el mismo módulo v, pero su dirección ha cambiado.
Calculemos el cambio de velocidad Dv=v’-v que experimenta el móvil entre los instantes t y t', tal como se ve en la figura. El vector Dv tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia. Los triángulos de color rojo y de color azul de la figura son isósceles y semejantes por lo que podemos establecer la siguiente relación



Donde la cuerda Δs es el módulo del vector desplazamiento entre los instantes t y t'

Dividiendo ambos miembros entre el intervalo de tiempo Dt=t'-t



Cuando el intervalo de tiempo Dt tiende a cero, la cuerda Ds se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,



La aceleración normal an tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:



Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración normal que se basa en la identificación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunferencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal"

Resumiendo

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.
Un móvil tiene aceleración tangencial at siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial.

Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, an ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración normal tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambas componentes de la aceleración.


Ejemplo

Una rueda de r=0.1 m de radio está girando con una velocidad de ω0=4π rad/s, se le aplican los frenos y se detiene en 4s. Calcular

La aceleración angular

ω=ω0+αt

En el instante t=4 s la velocidad angular ω=0

α=-π rad/s2

El ángulo girado hasta este instante es



En el instante t=1 s, la posición y la velocidad angular del móvil es

θ=7π/2=2π+3π/2 rad

ω=4π+(-π)·1=3π rad/s

La velocidad lineal

v=ω·r v=0.3π m/s

La componente tangencial de la aceleración es

at=α·r at=-0.1π m/s2

La componente normal de la aceleración es

an=v2/r an=0.9π2 m/s2




Movimiento de una bicicleta
Una bicicleta de montaña dispone de tres platos y siete piñones de distinto radio lo que proporciona 21 cambios de marcha al ciclista.

Supondremos que el ciclista hace girar al plato con velocidad angular constante w1. ¿Cuál es la velocidad v que adquiere el ciclista sobre la bicicleta?.

Supondremos que conocemos los datos relativos a la bicicleta:

Radio del plato seleccionado, r1
Radio del piñón seleccionado, r2
Radio de la rueda trasera, ra
Radio de la rueda delantera, rb
Aunque en la mayor parte de las bicicletas los radios de ambas ruedas son iguales, en algunas como las de competición contra-reloj son diferentes como en la simulación más abajo.

La figura representa un plato y un piñón unidos por una cadena. No es necesario saber Cinemática para establecer una relación entre sus respectivas velocidades angulares, y concluir que las velocidades angulares son inversamente proporcionales a sus radios respectivos.



La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del plato

vc=w1·r1

La velocidad de la cadena vc es la misma que la velocidad de un diente del piñón

vc=w2·r2

Tenemos de este modo, la relación entre las velocidades angulares w1 y w2

w2·r2=w1·r1

En el tiempo t un eslabón de la cadena se mueve de A a B. Un diente del plato gira un ángulo q1 y uno del piñón gira un ángulo q2. Tendremos entonces la siguiente relación

q2·r2= q1·r1

Ahora nos fijaremos en la rueda trasera. Si suponemos que el piñón es fijo, la velocidad angular del piñón w2 es la misma que la velocidad angular de la rueda trasera.



De modo que, la velocidad va de un punto de la periferia de dicha rueda es

va= w2·ra

Esta es la velocidad v con que se mueve el ciclista sobre la bicicleta.

En el capítulo sólido rígido estudiaremos con más detalle la relación entre la velocidad de traslación y la velocidad de rotación de un sólido que rueda sin deslizar.

El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t será

q a== w2·t

El eje de la rueda delantera está unido al eje de la rueda trasera mediante la estructura rígida de tubos de la bicicleta. La velocidad de traslación de la rueda delantera es la misma que la de la rueda trasera. La velocidad angular de la rueda delantera será

v= w b·rb

El ángulo girado por dicha rueda en el tiempo t

q b= w b·t

Ejemplo:

Los datos siguientes están fijados en el programa interactivo

El radio de la rueda trasera, ra=30 cm
El radio de la rueda delantera, rb=20 cm
Velocidad angular del plato, w1=1.0 rad/s
Los radios del piñón y del plato se pueden cambiar

Radio del plato seleccionado, r1=7.0 cm
Radio del piñón seleccionado, r2=3.5 cm
Velocidades

Velocidad angular del piñón: 3.5·w2=1.0·7.0 w 2=2 rad/s

Esta es también la velocidad angular de la rueda trasera.

Velocidad del ciclista sobre la bicicleta: v=2·30=60 cm/s=0.6 m/s

Velocidad angular de la rueda delantera: 60= w b·20 w b=3 rad/s

Desplazamientos

En el tiempo de t=1.0 s

La bicicleta se desplaza: x=v·t=60·1.0=60 cm=0.6 m

El ángulo girado por el plato: q 1= w1·t=1.0·1.0=1.0 rad.

El ángulo girado por la rueda trasera: q a= w2·t=2.0·1.0=2.0 rad.

El ángulo girado por la rueda delantera: q b= w b·t=3·1.0=3 rad

Para trabajar con el programa interactivo

Seleccionar el radio del plato, en el control selección Radio plato
Seleccionar el radio del piñón, en el control selección Radio piñón
Los datos siguientes están fijados en el programa interactivo

El radio de la rueda trasera, ra=30 cm
El radio de la rueda delantera, rb=20 cm
Velocidad angular del plato, w1=1.0 rad/s
Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento de las dos ruedas de la bicicleta, del plato y del piñón

En la parte superior del applet se nos proporciona los datos relativos a

El tiempo
La velocidad angular del plato, y el ángulo girado en dicho tiempo
La velocidad de la bicicleta
El desplazamiento de la bicicleta, que podemos ver en la escala graduada situada en la parte inferior del applet
El radio de la rueda delantera, y el ángulo girado por esta rueda
El radio de la rueda trasera, y el ángulo girado por esta rueda

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